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高中數(shù)學弦切角定理的證明方法

2023-03-21   來源:萬能知識網(wǎng)

高中數(shù)學弦切角定理的證明方法

弦切角是幾何中的定理,那它們是怎么被證明的呢?證明的方法是怎樣的呢?下面就是百分網(wǎng)小編給大家整理的弦切角定理證明方法內(nèi)容,希望大家喜歡。

弦切角定理證明方法一

1)連OC、OA,則有OC⊥CD于點C。得OC‖AD,知∠OCA=∠CAD。


(資料圖)

而∠OCA=∠OAC,得∠CAD=∠OAC。進而有∠OAC=∠BAC。

由此可知,0A與AB重合,即AB為⊙O的直徑。

(2)連接BC,且作CE⊥AB于點E。立即可得△ABC為Rt△,且∠ACB=Rt∠。

由射影定理有AC2=AE*AB。又∠CAD=∠CAE,AC公用,∠CDA=∠CEA,得△CEA≌△CDA,有AD=AE,所以,AC2=AB*AD。

第一題重新證明如下:

首先證明弦切角定理,即有∠ACD=∠CBA 。

連接OA、OC、BC,則有

∠ACD+∠ACO=90°

=(1/2)(∠ACO+∠CAO+∠AOC)

=(1/2)(2∠ACO+∠AOC)

=∠ACO+(1/2)∠AOC,

所以∠ACD=(1/2)∠AOC,

而∠CBA=(1/2)∠AOC(同弧上的圓周角等于圓心角的一半),

得∠ACD=∠CBA 。

另外,∠ACD+∠CAD=90°,∠CAD=∠CAB,

所以有∠CAB+∠CBA=90°,得∠BCA=90°,進而AB為⊙O的直徑。

弦切角定理證明方法二

證明一:設(shè)圓心為O,連接OC,OB,。

∵∠TCB=90-∠OCB

∵∠BOC=180-2∠OCB

∴,∠BOC=2∠TCB(定理:弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧所對的圓心角的度數(shù)的一半)

∵∠BOC=2∠CAB(圓心角等于圓周角的兩倍)

∴∠TCB=∠CAB(定理:弦切角的度數(shù)等于它所夾的"弧的圓周角)

證明已知:AC是⊙O的弦,AB是⊙O的切線,A為切點,弧是弦切角∠BAC所夾的弧.

求證:(弦切角定理)

證明:分三種情況:

(1)圓心O在∠BAC的一邊AC上

∵AC為直徑,AB切⊙O于A,

∴弧CmA=弧CA

∵為半圓,

∴∠CAB=90=弦CA所對的圓周角 (2)圓心O在∠BAC的內(nèi)部.

過A作直徑AD交⊙O于D,

若在優(yōu)弧m所對的劣弧上有一點E

那么,連接EC、ED、EA

則有:∠CED=∠CAD、∠DEA=∠DAB

∴ ∠CEA=∠CAB

∴ (弦切角定理)

(3)圓心O在∠BAC的外部,

過A作直徑AD交⊙O于D

那么 ∠CDA+∠CAD=∠CAB+∠CAD=90

∴∠CDA=∠CAB

∴(弦切角定理)

弦切角定理證明方法三

若兩弦切角所夾的弧相等,則這兩個弦切角也相等

應用舉例

例1:如圖,在Rt△ABC中,∠C=90,以AB為弦的⊙O與AC相切于點A,∠CBA=60° , AB=a 求BC長.

解:連結(jié)OA,OB.

∵在Rt△ABC中, ∠C=90

∴∠BAC=30°

∴BC=1/2a(RT△中30°角所對邊等于斜邊的一半)

例2:如圖,AD是ΔABC中∠BAC的平分線,經(jīng)過點A的⊙O與BC切于點D,與AB,AC分別相交于E,F(xiàn).

求證:EF∥BC.

證明:連DF.

AD是∠BAC的平分線∠BAD=∠DAC

∠EFD=∠BAD

∠EFD=∠DAC

⊙O切BC于D ∠FDC=∠DAC

∠EFD=∠FDC

EF∥BC

例3:如圖,ΔABC內(nèi)接于⊙O,AB是⊙O直徑,CD⊥AB于D,MN切⊙O于C,

求證:AC平分∠MCD,BC平分∠NCD.

證明:∵AB是⊙O直徑

∴∠ACB=90

∵CD⊥AB

∴∠ACD=∠B,

∵MN切⊙O于C

∴∠MCA=∠B,

∴∠MCA=∠ACD,

即AC平分∠MCD,

同理:BC平分∠NCD.


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